コンパクト閉圏を定義する

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1. はじめに

記事「コンパクト閉圏」の第3章の終 わりに次のように書いた。

コンパクト閉圏を使う側としては、基本的な性質は最初から列挙されていたほ うがいい。Kelly & Laplazaの定義は、公理の最小化を重視しているようだが、 冗長でも、もっと計算に便利な定式化があったほうがいいと僕は思う。

というわけで、実際に、より使いやすい「コンパクト閉圏の定義」を考えて みた。公理を最小化することはまったく度外視して、計算や図解に便利な性質 は最初から（冗長であっても）定義に含めてしまう方針である^(*注1)。この方針を採 用すると、コンパクト閉圏に至る手前で双対付き対称モノイド圏（symmetric monoidal category with dualizer）という概念が登場する。

双対付き対称モノイド圏は自然な概念で、それ自身（コンパクト閉圏と無関 係な文脈）でも意味を持ちそうだ。この双対付き対称モノイド圏に、単位 （unit）を導入してコンパクト閉圏を定義する。問題は、単位の性質をどのよ うに規定するかである。結果的には、「単位ηと対称性σ」、 「単位ηと双対*」、「単位ηとモノイド演算+」とのそれぞれの関係を述べる 3つの等式を公理とした。

以下では、圏Cの対象は|C|で表す。A∈|C|に対して、Aの恒等射（identity, ストレート・ジャンクション）をι_Aで表す。 また、混乱がなければι_Aを単にAとも書く。なお本記事では、定義の条件な どを等号を使って述べる。つまり、厳密（strict）なケースだけを考えている。

2. 双対付き対称モノイド圏

(C; +, 0, σ)を対称モノイド圏（symmetric monoidal category）とする。+ はモノイド演算（monoidal operation）、0はモノイド単位（monoidal unit）、 σ_A,B:A+B → B+A は、対称性を与える射（クロ ス・ジャンクション）だとする。σに関しては次を仮定する。

1. σ_A,B;σ_B,A=A+B
2. (σ_A,B+C);(B+σ_A,C)=σ_A,B+C
3. (A+σ_B,C);(σ_A,C+B)=σ_A+B,C
4. σ_C,A;(f+g) = (g+f);σ_D,B （f:A→B、g:C→D）

FIG: クロス（対称）の基本性質

/* cross-axioms */

(C;+ , 0, σ)と(D;+ , 0, σ)が2つの対称モノイド圏とすると、関手F:C→D が次を満たすとき、‘対称モノイド関手’と呼ぶ^(*注2)。

1. F(A + B) = F(A) + F(B)、F(f + g) = F(f) + F(g)
2. F(0) = 0
3. F(σ_A,B) = σ_F(A),F(B)

反変の対称モノイド関手も同様に定義できる。対称モノイド圏C上の反変対称 モノイド自己関手F:C→C が F;F=Id_C であるとき、Fを‘双対オペレータ’ （dualizing operator, dualizer）と呼ぶ。Fが双対オペレータのとき、F(A)、 F(f)の代わりにA^*、f^*のように書く。双対オペレータの性質をすべて列挙 すれば、次のとおり。

1. (f;g)^* = g^*;f^* （反変関手性 -- 結合）
2. (ι_A)^* = ι_A* （反変関手性 -- 単位）
3. (A + B)^* = A^* + B^*、(f + g)^* = f^* + g^* （モノイド演算を保つ）
4. 0^* = 0 （単位は不変）
5. (σ_A,B)^* = σ_B*,A* （クロス・ジャンクションへの反変作用）
6. A^** = A、f^** = f （対蹠性）

双対オペレータが備わった対称モノイド圏を‘双対付き対称モノイド圏’ （symmetric monoidal category with dualizer）と呼び、(C;+, 0, σ, *)の ように書く。

3. コンパクト閉圏の定義

A∈|A|に対してη_Aは、コンパクト閉圏の単位だとする。モノイド単位や随 伴関手の単位と混同しないように、以下では‘Kelly単位’と呼ぶことにする。 Kelly単位は、「お絵描き圏論」の第6節 で「ターニング・ジャンクション」と呼んだものであり、半円形のカーブとし て描かれる^(*注3)。Kelly単位の特徴付けこそがコンパクト閉圏定義の本質的 な部分となる。

オリジナル（Kelly & Laplaza）の定義では、η_A:0→A^*+A とは別に Kelly余単位 ε_A:A+A^* → 0 の存在が仮定され、次の「Z字引き伸ばし」と「S字引き伸ばし 」の等式が成立することがコンパクト閉圏の条件となっている^(*注4)。 （これらの等式は、三角恒等式、ジグザグ恒等式、剛性（rigid）公理などと 呼ばれる。）

1. (A + η_A);(ε_A + A) = σ_A,0 = A
2. (η_A + A^*);(A^* + ε_A) = σ_0,A* = A^*

FIG: Z字、S字の引き伸ばし

/* turning-stretching */

我々の設定では、最初から双対オペレータ（dualizing operator、dualizer） の存在を仮定しているので、ηだけあれば、εは ε_A = (η_A)* として 定義できる。例えば、Z字引き延ばしは、ηだけを使って (A + η_A);((η_A)^* + A) = A と書ける。だが、便利なので記号εも使 うことにする。その他に次の定義をする。

• η'_A = η_A* : 0 → A^* + A
• ε'_A = ε_A* : A + A^* → 0

さて、Kelly単位ηを規定するために選んだ条件は次の3つである。後に続く 節でそれぞれを説明する。

1. [twisting formula; ‘ねじり公式’] η_A;σ_A*,A = η_A* = η'_A
2. [dualizing formula; ‘双対化公式’] (η_A + B^*);(A^* + f + B^*);(A^* + ε_B) = f^* （ここで、f:A→B とする）
3. [bundling formula; ‘まとめ公式’] η_A+B = (η_A + η_B);(A^* + σ_A,B* + B)

双対付き対称モノイド圏(C; +, 0, σ)に、これらの等式を満たす η = {η_A | A∈|C| }を加えた構造(C; +, 0, σ, η)が‘コンパクト閉圏’ である。

4. ねじり公式

ねじり公式を導入した直接の動機は、（トレース付きモノイド圏の）ヤンキ ング公理を示すときに必要だからだが、 Abramsky の強コンパクト閉圏（Peter Selingerによれば、ダガー・コンパクト閉圏）でも同様な仮定を置いてい たのも採用の理由である^(*注5)。

η_A;σ_A*,A = η_A* の両辺に*（双対化）を作用させると、 (σ_A*,A)^*;(η_A)^* = (η_A*)^* となり、 σ_A,A*;ε_A = ε_A* = ε'_A が得られる。念のため、もとのね じり公式と今得られた双対版を並べて書いておく。

• η_A;σ_A*,A = η'_A
• σ_A*,A;ε_A = ε'_A

ねじり公式の意味するところは次の図のように単純である。

FIG: ねじり公式

/* twisting */

応用例として、ねじり公式とS字引き伸ばし公式の一種を仮定して、ヤンキン グ（yanking）公理を示してみよう（説明は図の後）。

FIG: ヤンキングの証明

/* yanking-in-ccc */

1. (A + η'_A);(σ_A,A + A^*);(A + ε_A) として交差と輪を作る。
2. A = ι_A = σ_A;σ_A を挿入する。
3. (σ_A,A + A*);(A + σ_A,A)の部分（中央付近）をクロスの2番 目の性質を使って書き換えると、σ_{A,A + A*} となる。
4. クロスの4便目の性質により、左端(A + η'_A)と中央のクロスを位置交換し て、σ_A,0;(η'_A + A) となる。
5. σ_A,0はAとなり、右側に残ったσ_A*,A;ε_Aはねじり公式を使って ε'_Aにすると、S字型のカーブが現れる。
6. S字型のカーブ (η'_A + A);(A + ε'_A) を引き伸ばすと、A = ι_A となる。

5. 双対化公式

我々は、双対付き対称モノイド圏から出発しているので、最初から双対オペ レータが備わっている。しかし、オリジナル（Kelly & Laplaza）のコンパク ト閉圏の定義では、射の双対は対象の双対とKelly単位を使って組み立てられ る。この食い違いを埋めるために、最初から存在する双対オペレータが、 Kelly/Laplaza流の“定義された双対”に一致することを仮定する。それが、 次の双対化公式である。

• (η_A + B^*);(A^* + f + B^*);(A^* + ε_B) = f^*

公理として仮定する双対化公式は1つでよいが、その変種を導いておく（下の 図も参照）。まず、ねじり公式を少し変形すると、次が得られる（これもねじ り公式と呼ぶ）。

1. η_A = η'_A;σ_A,A*
2. ε_A = σ_A,A*;ε'_A;

双対化公式のηとεをねじったもので置き換えると、左辺が (η'_A;σ_A,A* + B^*);(A^* + f + B^*);(A^* + σ_B,B*;ε'_B) となるが、ク ロスの性質を使って2個のねじれを相殺すると（各自、図を描け）、(B^* + η'_A);(B^* + f + A^*);(ε'_A + A^*)が得られるが、これもf^* の表示になっている。よって次が成立する。

• (B^* + η'_A);(B^* + f + A^*);(ε'_A + A^*) = f^*

一方、双対化公式の両辺の双対を取り、ε = η^*、η = ε^* に注意すれ ば次が得られる。

• (A + η_B);(A + f^* + B);(ε_A + B) = f

バランスを考えれば、もう1つの公式があることは分かるだろう。4番目の双 対化公式の図示と導出は練習問題とする（実は、図を描き間違えたので4番目 を削除した、というのがホントの事情）。

FIG: 双対化公式とその変種

/* dualizing */

6. まとめ公式

ねじり公式は、η_A とη_A*の関係を記述している。また、0^* = 0 と 0 + 0 = 0 を使えばη₀ = 0 も分かる。もし、η_{A + B}をη_Aとη_B で書き下す公式があるならば、双対付きモノイド(|C|, +, 0, *)上で定義され た変換η^(*注6)の性質が明白になる。まとめ公式は、η_{A + B}を、η_A とη_B、それと基本演算（;、+、*）で与えるものである。

• η_A+B = (η_A + η_B);(A^* + σ_A,B* + B)

以下にこの公式の背景を説明しよう。X^* + Y^* から X + Y へと、カーブ したワイヤーで繋ごうと思うと、ストレートワイヤーでは無理で、曲がりと共 にねじりを入れる必要がある。つまり、ターニング・ジャンクションはリバー ス・ケーブルなのである（下図の1番）。リバース（クロス）・ケーブルをばらすと、交差 した2本のケーブルになる（下図の2番）。交差とつながりの具合を記述すると、 まとめ公式の左辺になる（下図の3番）。（等式ではA, B、図ではX, Yとなっ ているのは手違い。直さないけどカンベンしてね。）

FIG: まとめ公式：まとめたケーブルをばらすと…

/* bundling */

7. ジグザグ恒等式とスライディング公理

コンパクト閉圏の通常の定義では、S字とZ字の引き伸ばし公式であるジグザ グ恒等式（三角恒等式、剛性公理）がアプリオリに仮定される。我々の定義で は、ジグザグ恒等式は双対化公式の特殊ケースとして得られる。

双対化公式 (A + η_B);(A + f^* + B);(ε_A + B) = fにおけるfを、A = ι_A:A→Aと置くと、 (A + η_A);(A + A^* + A);(ε_A + A) = A となる。 (A + A^* + A)は省略していいので、(A + η_A);(ε_A + A) = A だが、こ れはZ字の引き伸ばし公式に他ならない。S字の引き伸ばしも同様に得られる。

双対化公式とジグザグ恒等式を用いて、トレース付きモノイド圏のスライディ ング公理を簡略化した形を示そう。スライディング公理と比べて、スライディ ングと回転の量が半分なので、仮に半スライディング公式と呼んでおこう。

半スライディング公式は、h:Y→Xに対して次の形をしている。

• η'_X;(X + h^*) = η'_Y;(h + Y^*)

これは、h^* をターニング・ジャンクションのカーブに沿って移動（スライ ド）させると、カーブの曲がりの影響を受けて180度ひっくり返ることを意味 する。h^* がひっくり返ると h になる。双対の定義と引き伸ばしを使って次 のように示せる（説明は図の後）。

FIG: 半スライディング公式の証明

/* sliding-in-ccc */

1. η'_X;(X + h^*)
2. h^* を、双対の定義に従って、 (X^* + η'_X);(X^* + h + Y^*);(ε'_Y + Y^*) に置き換える。
3. hをずらして（「スーパーポージング公理からスー パーポージング定理へ」の第6節参照）、中央にS字カーブが現れるよ うにする。
4. S字の引き伸ばし公式（ジグザグ恒等式）によりS字をまっすぐにすると、 η'_Y;(h + Y^*) となる。

8. クロスオーバー公式とバニッシング公理

スライディング公理の場合と同じように、トレース付きモノイド圏のバニッ シング公理の“半分バージョン”がコンパクト閉圏で成立する。これを、半バ ニッシング公式と呼ぶことにする。次のものである。

• η_X+Y = η_X;(X^* + η_Y + X);(X^* + Y^* + σ_Y,X)

まとめ公式を考慮に入れると、次の形でも同じである。

• (η_X + η_Y);(X^* + σ_X,Y* + Y) = η_X;(X^* + η_Y + X);(X^* + Y^* + σ_Y,X)

この半バニッシング公式を示すための補題として、 (η_X + Y) = (Y + η_X)(σ_Y,X* + X)(X^* + σ_Y,X) を示す（下図）。 これは、ターニング・ジャンクションとストレート・ジャンクションの並列が あったとき、ターニングと2回交差する形で順序交換をしていいこと、その逆 に2回の交差を解消していいことを主張している。仮にクロスオーバー公式と 呼んでおこう。

FIG: クロスオーバー公式

/* crossing-over0 */

2回の交差を解消する方向に変形して示すことにする（説明は図の後）。

FIG: クロスオーバー公式の証明

/* crossing-over */

1. (Y + η_X)(σ_Y,X* + X)(X^* + σ_Y,X)
2. 2回の交差をまとめて、(Y + η_X);σ_Y,X*+X とする。
3. 交差位置を左に移動して、σ_Y,0;(η_X + Y) とする。
4. σ_Y,0はYである。
5. 余分な左端のYを取り去ると、(η_X + Y) 。

このクロスオーバー公式を使うと、半バニッシング公式を次のように示すこ とができる（詳細は練習問題）。

FIG: 半バニッシング公式の証明

/* vanishing-in-ccc */

9. おわりに

「お絵描き圏論」でも述べたように、η_A、η'_A、ε_A、ε'_A は、半 円形のカーブ、または180度の回転を与えるものである。一方、双対オペレー タも射を逆さまにする操作なので、ηと無関係であるはずがない。 コンパク ト閉圏を定義する等式群は、これら、入れ替え、鏡映、ねじれ、回転などの 「逆さまにする／ひっくり返す」操作の相互関係を規定したものである。「逆さま／ひっくり返し」の導入に より、通常の圏では不可能だったルーピングが導入され、再帰や繰り返しの記 述にも使えるようになった。

コンパクト閉圏と密接な関係を持つトレース付きモノイド圏は、反対の極性 を持つ対象や射（鏡の世界の存在、反物質？）が露骨に出現しないように工夫 された世界である。負（極性が通常とは反対）のモノは、トレース演算にうま く隠されて（閉じこめられて）表には顔を出さないようになっている。コンパ クト閉圏では、トレース付きモノイド圏で成立する法則の“半分バージョン” が成立するが、これは i×i = -1 のようなもので、実世界での逆さま操作が、 鏡の世界の半分操作2つで実現されている、ということだろう。実際トレース は、180度回転であるターニングジャンクション（Kelly単位）を2つ繋げて実 現される。